Conceptos Fundamentales de Cálculo en Varias Variables

Posted on Oct 16, 2024 in Spanish

Límite de una Función en un Punto

Se dice que l ∈ R^q es el límite de f en el punto a y lo denotaremos lim _x->a f(x) = l, si ∀ε>0, ∃δ>0 tal que x existe en B*(a, δ)∩C -> f(x) ∈ B(l, ε)

Función Definida en un Abierto

F es de clase C^r en C si: f tiene sus p^r derivadas parciales de orden r (r≥1) en C y éstas son continuas en C. Se dice que f es de clase C^r en a ∈ C si es de clase C^r-1 en un entorno de a, tiene sus p^r derivadas parciales en orden r (r≥1) en un entorno de a y éstas son continuas en a.

Teorema de Schwarz

Segunda derivada de x respecto de y (a,b) = segunda derivada de y con respecto a x (a,b)

Jacobiana

Si f es diferenciable en a, la matriz qxp asociada a la aplicación lineal df(a):R^p->R^q en las bases canónicas.

Gradiente

Vector de R^p que tiene por componentes las derivadas parciales de f en a, i.e.

Homogénea

f es homogénea de grado α≠0 en C si para cada x ∈ C y cada t > 0 con tx ∈ C se verifica f(tx) = t^α f(x)

Sucesión

Es una aplicación x: N->R, El término x(n) se suele escribir x_n, La sucesión se suele escribir {x_n} n∈N

Convergencia

X_n->l ó lim X_n = l si ∀ε>0 ∃N₀ ∈ N tal que n ≥ n₀ -> |X_n – l| < ε

Sucesión Superiormente Acotada

Si existe M ∈ R tal que X_n ≤ M, ∀n ∈ N, al valor m lo denominamos cota superior de la sucesión y a la menor de las cotas superiores, si existe, la denominamos supremo.

Sucesión Inferiormente Acotada

Igual que la anterior. Al valor m lo denominamos cota inferior de la sucesión y a la mayor de las cotas inferiores, si existe, ínfimo.

Monótona Creciente

X_n ≤ x_n+1 para todo n ∈ N

Monótona Decreciente

X_n ≥ X_n+1 para todo n ∈ N

Sucesión de Cauchy

Una sucesión es de Cauchy si verifica la llamada condición de Cauchy, esto es: ∀ε>0 ∃n₀ tal que m,n ≥ n₀ -> |X_n – X_m| < ε.

Bola Abierta con Centro x y Radio ε

B(x,ε) = {y ∈ Rⁿ tal que d(x,y) < ε

Bola Cerrada

Igual pero ≤ ε.

Bola Abierta Reducida

B*(x, ε) = B(x,ε) – {x}

Conjunto Abierto

Si es entorno de cada uno de sus puntos ∀x ∈ U ∃ε>0 tal que B(x, ε) ⊂ U

Conjunto Cerrado

Si su complementario V^C = Rⁿ – V es un conjunto abierto

Derivadas en Todas las Direcciones Implica Derivadas Parciales

Si Existe D_u f(a) ∀u -> Existe lim _h->0 f(a+uh-f(a)/h. En particular existirá el límite para U_n = (0,..,1..,0,…) de la base canónica: Lim _h->0 f(a_i,…,a_i+h,…,a_n)-f(a)/h = derivada de f / derivada x_i (a)

A es Cerrado <-> A Contiene a Todos sus Puntos Adherentes

Sea A cerrado y x un punto adherente => ¿x ∈ A? Supongamos que no -> X ∈ A^c abierto, luego ∃ε > 0 / B(x, ε) ⊂ A^c -> B(x,ε) ∩ A = ∅, que es una contradicción luego x ∈ A. A contiene todos sus puntos adherentes -> ¿A es cerrado? Supongamos que no, entonces A^c no es abierto. 1) ∃x ∈ A^c que no es interior de A^c 2) ∀ε > 0 / B(x, ε) contenido en A 3) ∀ε > 0 / B(x, ε) ∩ A ≠ ∅ -> x es adherente a A -> x ∈ A, contradicción, luego A es cerrado.

Acumulación

B(x,ε) ∩ A tiene infinitos puntos de A -> B(x,ε) ∩ A ≠ ∅ -> X es de acumulación. Supongamos que ∃ε > 0 / B(x,ε) ∩ A = {x₁,…, x_p} ε’ = min{d(x,x₁),…,d(x,x₂)} B(x, ε’) ∩ A = ∅, contradicción. Por tanto -> ∀B(x, ε) tiene infinitos puntos de A

Sucesión de Cauchy

Supongamos que {X_n} de Cauchy -> ∀ε > 0 min ≥ n₀ -> |x_n – x_m| < ε. Si ε = 1 existirá n₀ / n ≥ 0 -> |x_n – x_n0| < 1. Así para n ≥ 0 no tenemos: |X_n| ≤ |x_n – x_n0| + |x_n0| < 1 + |x_n0| si consideramos {M = máx{|x₁|,..,|X_n0-1|, 1 + |x_n0|} tendremos que |x_n| ≤ M. Toda sucesión monótona creciente y acotada superiormente es convergente y el límite de la sucesión es el supremo de la misma: Veamos que lim x_n = S. Si no fuera así ∃ε > 0 / ∀n ∈ N, |x_n – S| > ε. Esto es: 1) x_n – S > ε -> X_n > ε + S contradicción 2) X_n – S < -ε -> x_n < S – ε contradicción. Por tanto lim X_n = S y {x_n} es convergente.

Optimización

Lagrangiana, Derivadas Parciales, Sistema, Despejar α en (1) y (2), Igualar las α de (1) y (2), (6) Despejar de la función formada (x) ó (y), Sustituir en (3) -> Una función, Sacar (y) ó (x) (la que quede) = +-, si (y) ó (x) = +… (x) ó (y) = sustituyes en la 6, si (x) ó (y) = -… = sustituyes en la (6), Formas 2 intervalos, Pasas a Bolzano – Weierstrass, Sustituyes los intervalos en la función inicial, + -> Máx Absoluto, – -> Mín Absoluto